北京师范大学 一九九九年攻读硕士学位研究入学考试试题 专业：基础数学、概率统计、应用数学 研究方向：有关各方向 考试科目：高等代数 （一）判断下述变换哪些是线性变换，哪些不是，并说明理由： （1）在域F上的线性空间V中， （ ）=k + ,其中k是F中的固定元素， 是V中的固定非零向量。 （2）F是数域，在F3中， （x1、x2、x3）=（x1+2x3，-4x2、x32） （3）在F（X）中， （f(x)）=f(x+a)，a是F中一个固定元素。 （4）在F（X）中， （f(x)）=f(a)，a是F中一个固定元素。 （5）在Mn（F）中， （X）=BXC其中B，（ Mn（F））是固定矩阵。 （6）把复数域分别看作实数城和复数域上的残性空间， （z）= 。 二、（1）在复数域和实数域上将X5+1分解成不可约多项式的乘积。 （2）设a1、a2…，an是整数，（a1、a2…，an）=2，证明f(x)=（x-a1）（x-a2）…（x-an）+2在有理数域上不可的。 三、令 ，（1）求 I-A的不变因子和初等因子，其中I是三阶单位阵。 （2）求A的若当标准型。 x1 四、令实二次型 （x1、x2…，xn）=x’Ax，其中A=A’（aij）nxn，X= x2 ，设 与 xn 分别是A的最大与最小特征根，则对于任意的n个实数b1、b2、…，bn，均有 五、设V和V’都是域F上的有限维残性空间， 是V到V’的一个线性映射。 证明：（1）存在直和分解V=U W，V’=M N，使ker =U，且W M。 （2）存在V的一个基和V’的一个基，使得 在这对基下的矩阵形如 Ir 0 0 0 其中Ir是r阶单位阵。 （每题二十分）